✏️ Bestandsfunktionen aufstellen im Sachkontext

Bei diesen Aufgaben muss die Bestandsfunktion einer gegebenen Funktion im Sachkontext bestimmt werden. Dazu wird die gegebene Funktion integriert und die Integrationskonstante durch eine Anfangsbedingung bestimmt.

Aufgabe: 🌞 Solaranlage

In einigen Solaranlagen wird die produzierte Energie in Form von Wärme gespeichert. Die Funktion

g(t) = 0,5t^2 - 3t

beschreibt die momentane Produktionsrate der erzeugten Wärme in Megajoule pro Tag in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Tagen.

Für die Menge der Wärme $H(t)$ in MJ, die sich zum Zeitpunkt $a$ im Speichertank befindet, gilt

H(60) = 0.

Bestimme die Bestandsfunktion $H(t)$ .

1. Tipp: Verstehen der Funktion

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $g(t)=0,5t^2−3t$ beschreibt die momentane Produktionsrate der Wärme in Megajoule pro Tag.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Tagen und $g(t)$ die produzierte Wärme pro Tag.

2. Tipp: Integration der Funktion

Bestandsfunktion finden: Um die Gesamtmenge der Wärme zu bestimmen, muss die Funktion $g(t)$ integriert werden. Also die Stammfunktion gefunden werden.

\begin{align*} H(t) &= \int g(t) \, dt \\ &= \int (0,5t^2 - 3t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $0,5t^2$ ergibt $\frac{0,5}{3}t^3 = \frac{1}{6} t^3$ .
- Die Integration von $-3t$ ergibt $-\frac{3}{2}t^2$ .

Somit ergibt sich die Bestandsfunktion $H(t)$ :

H(t) = \frac{1}{6} t^3 - \frac{3}{2} t^2 + c

Wobei c die Integrationskonstante ist.

3. Tipp: Bestimmung der Integrationskonstante

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangsbedingung $H(60) = 0$ eingesetzt wird.

\begin{align*} H(60) = \frac{1}{6} \cdot 60^3 - \frac{3}{2} \cdot 60^2 + c &= 0\\ \frac{1}{6} \cdot 60^3 - \frac{3}{2} \cdot 60^2 + c &= 0\\ \frac{1}{6} \cdot 216000 - \frac{3}{2} \cdot 3600 + c &= 0\\ 36000 - 5400 + c &= 0\\ 30600 + c &= 0\\ c &= -30600 \end{align*}

4. Tipp: Bestandsfunktion aufstellen

Bestandsfunktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist $-30600$ . Die Bestandsfunktion $H(t)$ lautet also:

H(t) = \frac{1}{6} t^3 - \frac{3}{2} t^2 - 30600

Aufgabe: 🍃 Windkraftanlage

In einigen Windkraftanlagen wird die produzierte Energie in Form von elektrischer Energie gespeichert. Die Funktion

f(t) = 0,4t^2 - 2t

beschreibt die momentane Produktionsrate der erzeugten elektrischen Energie in Megawattstunden pro Tag in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Tagen.

Für die Menge der Energie $E(t)$ in MWh, die sich zum Zeitpunkt $t$ im Speichertank befindet, gilt

E(30) = 0.

Bestimme die Bestandsfunktion $E(t)$ .

1. Tipp: Verstehen der Funktion

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $f(t)=0,4t^2−2t$ beschreibt die momentane Produktionsrate der elektrischen Energie in Megawattstunden pro Tag.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Tagen und $f(t)$ die produzierte Energie pro Tag.

2. Tipp: Integration der Funktion

Bestandsfunktion finden: Um die Gesamtmenge der Energie zu bestimmen, muss die Funktion $f(t)$ integriert werden. Also die Stammfunktion gefunden werden.

\begin{align*} E(t) &= \int f(t) \, dt \\ &= \int (0,4t^2 - 2t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $0,4t^2$ ergibt $\frac{0,4}{3}t^3 = \frac{2}{15} t^3$ .
- Die Integration von $-2t$ ergibt $-t^2$ .

Somit ergibt sich die Bestandsfunktion $E(t)$ :

E(t) = \frac{2}{15} t^3 - t^2 + c

Wobei $c$ die Integrationskonstante ist.

3. Tipp: Bestimmung der Integrationskonstante

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangsbedingung $E(30) = 0$ eingesetzt wird.

\begin{align*} E(30) = \frac{2}{15} \cdot 30^3 - 30^2 + c &= 0\\ \frac{2}{15} \cdot 27000 - 900 + c &= 0\\ 3600 - 900 + c &= 0\\ 2700 + c &= 0\\ c &= -2700 \end{align*}

4. Tipp: Bestandsfunktion aufstellen

Bestandsfunktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist $-2700$ . Die Bestandsfunktion $E(t)$ lautet also:

E(t) = \frac{2}{15} t^3 - t^2 - 2700

Aufgabe: 🌊 Wasserspeicher

In einem Wasserspeicher wird das Wasser durch Pumpen in Abhängigkeit von der Zeit gefüllt. Die Funktion

p(t) = 0,3t^2 - 1,5t

beschreibt die momentane Füllrate des Wassers in Litern pro Stunde in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Stunden.

Für die Menge des Wassers $W(t)$ in Litern, die sich zum Zeitpunkt $t$ im Speicher befindet, gilt

W(20) = 0.

Bestimme die Bestandsfunktion $W(t)$ .

1. Tipp: Verstehen der Funktion

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $p(t)=0,3t^2−1,5t$ beschreibt die momentane Füllrate des Wassers in Litern pro Stunde.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Stunden und $p(t)$ die gefüllte Wassermenge pro Stunde.

2. Tipp: Integration der Funktion

Bestandsfunktion finden: Um die Gesamtmenge des Wassers zu bestimmen, muss die Funktion $p(t)$ integriert werden. Also die Stammfunktion gefunden werden.

\begin{align*} W(t) &= \int p(t) \, dt \\ &= \int (0,3t^2 - 1,5t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $0,3t^2$ ergibt $\frac{0,3}{3}t^3 = 0,1 t^3$ .
- Die Integration von $-1,5t$ ergibt $-\frac{1,5}{2}t^2 = -0,75t^2$ .

Somit ergibt sich die Bestandsfunktion $W(t)$ :

W(t) = 0,1 t^3 - 0,75 t^2 + c

Wobei $c$ die Integrationskonstante ist.

3. Tipp: Bestimmung der Integrationskonstante

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangsbedingung $W(20) = 0$ eingesetzt wird.

\begin{align*} W(20) = 0,1 \cdot 20^3 - 0,75 \cdot 20^2 + c &= 0\\ 0,1 \cdot 8000 - 0,75 \cdot 400 + c &= 0\\ 800 - 300 + c &= 0\\ 500 + c &= 0\\ c &= -500 \end{align*}

4. Tipp: Bestandsfunktion aufstellen

Bestandsfunktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist $-500$ . Die Bestandsfunktion $W(t)$ lautet also:

W(t) = 0,1 t^3 - 0,75 t^2 - 500