✏️ Anwendungen

Jetzt, da wir die Produktregel beherrschen, können wir sie auf verschiedene Anwendungen anwenden. Hier sind einige Beispiele:

Aufgabe: ☕ Abkühlung eines Tees

Die Temperatur eines Tees kann durch eine Funktion der Form $f(t) = a + b \cdot e^{-k \cdot t}$ , $t$ in Minuten und $f(t)$ in $^{\circ}C$ , modelliert werden.

a) Die Anfangstemperatur des Tees beträgt $95^{\circ}C$ . Nach 9 Minuten ist der Tee auf $40,9^{\circ}C$ abgekühlt. Für den Abkühlungfaktor gilt $k=0,3$ . Zeige, dass $f(t)=37 + 58 \cdot e^{-0,3x}$ gilt.

Wir setzen die gegebenen Werte in die Funktion ein:

\begin{align*} f(0) &= a + b \cdot e^{-k \cdot 0} = a + b = 95 f(9) &= a + b \cdot e^{-0,3 \cdot 9} = a + b \cdot e^{-2,7} = 40,9 \end{align*}

Jetzt können wir die beiden Gleichungen lösen:

\begin{align*} I: a + b &= 95 \\ II: a + b \cdot e^{-2,7} &= 40,9 \end{align*}

\begin{align*} I - II: b - b \cdot e^{-2,7} &= 95 - 40,9 \\ b(1 - e^{-2,7}) &= 54,1 \\ b &= \frac{54,1}{1 - e^{-2,7}} \approx 58 \end{align*}

Nun setzen wir $b$ in die erste Gleichung ein und lösen nach $a$ auf:

a = 95 - b \approx 37

Die Funktion gilt.

b) Bestimme die Temperatur des Tees nach 15 Minuten.

Hier setzen wir $t = 15$ in die Funktion ein:

f(15) = 37 + 58 \cdot e^{-0,3 \cdot 15} \approx 37,644^{\circ}C

Die Temperatur des Tees nach 15 Minuten beträgt also etwa $37,644^{\circ}C$ .

c) Berechne den Wert der Ableitung $f'(t)$ nach 15 Minuten und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Zuerst berechnen wir die Ableitung der Funktion:

f'(t) = -0,3 \cdot 58 \cdot e^{-0,3 \cdot t} = -17,4 \cdot e^{-0,3 \cdot t}

Dann setzen wir $t = 15$ ein:

f'(15) = -17,4 \cdot e^{-0,3 \cdot 15} \approx -2,5

Da bedeutet, dass die Temperatur des Tees nach 15 Minuten um etwa $2,5^{\circ}C$ pro Minute abnimmt.

d) Bestimme die Zeit, nach der der Tee auf $50^{\circ}C$ abgekühlt ist.

Dazu setzen wir $f(t) = 50$ und lösen die Gleichung:

\begin{align*} f(t) = 37 + 58 \cdot e^{-0,3 \cdot t} &= 50 | -37\\ 58 \cdot e^{-0,3 \cdot t} &= 13 | :58\\ e^{-0,3 \cdot t} &= \frac{13}{58} | ln(..) \\ -0,3 \cdot t &= ln\left(\frac{13}{58}\right) | : -0,3\\ t &= \frac{ln\left(\frac{13}{58}\right)}{-0,3} \approx 8,5 \end{align*}

e) Anhand des Funktionsterms kann die Umgebungstemperatur des Tees bestimmt werden. Bestimme diese.

Hier berechnen wir den Grenzwert der Funktion für $t \to \infty$ :

\lim_{t \to \infty} f(t) = 37 + 58 \cdot e^{-0,3 \cdot t} = 37 + 58 \cdot 0 = 37

Der Grenzwert der Funktion ist also $37^{\circ}C$ . Das bedeutet, dass die Umgebungstemperatur des Tees $37^{\circ}C$ beträgt. Ganz schön warm, oder? 🥵

f) Um die Abkühlung des Tees zu verlangsamen, wird der Tee in eine Thermoskanne gefüllt. Begründe wie sich der Abkühlungsfaktor $k$ ändert und wie sich dies auf die Funktion $f(t)$ auswirkt.

Der Abkühlungsfaktor $k$ wird kleiner, da die Thermoskanne die Wärme besser isoliert. Dadurch wird die Funktion flacher und die Temperatur des Tees bleibt länger hoch. Die neue Funktion könnte zum Beispiel die Form $f(t) = 37 + 58 \cdot e^{-k' \cdot t}$ haben, wobei $k' < k$ ist. Zum Beispiel könnte $k' = 0,2$ sein, was die Abkühlung des Tees verlangsamt.

Aufgabe: 💊 Wirkstoffkonzentration eines Medikaments

Durch die Funktion $f(t) = 20 t \cdot e^{-0,5t}$ wird die Wirkstoffkonzentration eines Medikaments im Blut modelliert, wobei $t$ die Zeit in Stunden und $f(t)$ die Konzentration in mg/l angibt. Die Funktion ist nur im Intervall $[0, 10]$ definiert.

a) Bestimme die Wirkstoffkonzentration am Anfang und Ende der Zeitspanne.

Dazu setzen wir die Werte $t = 0$ und $t = 10$ in die Funktion ein:

f(0) = 20 \cdot 0 \cdot e^{-0,5 \cdot 0} = 0 \quad (\text{Konzentration am Anfang}) \\ f(10) = 20 \cdot 10 \cdot e^{-0,5 \cdot 10} = 20 \cdot 10 \cdot e^{-5} \approx 0,735 \quad (\text{Konzentration am Ende})

Am Anfang beträgt die Konzentration des Medikaments im Blut $0$ mg/l und am Ende der Zeitspanne $0,735$ mg/l.

b) Bestimme die Zeit, zu der die Konzentration des Medikaments im Blut am höchsten ist.

Dazu das globale Maximum der Funktion $f(t)$ bestimmen. Dazu setzen wir die Ableitung $f'(t)$ gleich Null:

\begin{align*} f'(t) = e^{-0,5t} (20 - 10t) &= 0 \end{align*}

Der Faktor $e^{-0,5t}$ ist für alle $t$ ungleich Null, daher setzen wir nur den anderen Faktor gleich Null:

20 - 10t = 0 \implies 10t = 20 \implies t = 2

Das heißt, das wir für $t=2$ eine Extremstelle haben. Nun setzen wir diese in die zweite Ableitung ein, um zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt:

\begin{align*} f''(t) &= e^{-0,5t} \left(5t-20\right) \\ f''(2) &= e^{-0,5 \cdot 2} \left(5 \cdot 2 - 20\right) = e^{-1} \cdot (-10) < 0 \end{align*}

c) Ab dem Zeitpunkt $t=5$ kann die Konzentration durch die Tangente an den Graphen von $f$ an dieser Stelle beschrieben werden. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem das Medikament vollständig abgebaut ist, wenn die Konzentration des Medikaments im Blut durch die Tangente beschrieben wird.

Dazu müssen wir die Tangente an den Graphen von $f$ bei $t=5$ bestimmen. Zuerst berechnen wir die Ableitung an dieser Stelle:

f'(5) = e^{-0,5 \cdot 5} (20 - 10 \cdot 5) = e^{-2.5} \cdot (-30) \approx -11,1

Jetzt können wir die Tangentengleichung aufstellen. Die Tangente hat die Form $g(t) = f(5) + f'(5)(t - 5)$ .

\begin{align*} g(t) &= f(5) + f'(5)(t - 5) \\ &= 20 \cdot 5 \cdot e^{-0,5 \cdot 5} - 11,1(t - 5) \\ &= 100 \cdot e^{-2.5} - 11,1(t - 5) \end{align*}

Abschließend setzen wir die Tangentengleichung gleich Null, um den Zeitpunkt zu finden, an dem das Medikament vollständig abgebaut ist:

\begin{align*} g(t) = 100 \cdot e^{-2.5} - 11,1(t - 5) &= 0 \\ 100 \cdot e^{-2.5} &= 11,1(t - 5) \\ 100 \cdot e^{-2.5} + 55,5 &= 11,1t \\ (100 \cdot e^{-2.5} + 55,5) / 11,1 &= t \\ t &= \frac{100 \cdot e^{-2.5} + 55,5}{11,1} \approx 6,4 \end{align*}

Mit dieser Annahme ist das Medikament nach etwa $6,4$ Stunden vollständig abgebaut.

d) Für ein anderes Medikament soll eine ähnliche Funktion modelliert werden. Es ist bekannt, dass die Konzentration des Medikaments 2 Stunden nach der Einnahme mit 10 mg/l am größten ist. Bestimme den Wert von $k > 0$ und $a > 0$ , wenn die Funktion die Form $f(t) = a \cdot t \cdot e^{-kt}$ hat.

Dazu stellen wir zwei Gleichungen auf, die die Bedingungen erfüllen:

\begin{align*} f(2) &= a \cdot 2 \cdot e^{-2k} = 10 \quad (\text{Konzentration am Maximum}) \\ f'(2) &= e^{-2k} (a - 2ak) = 0 \quad (\text{Ableitung gleich Null am Maximum}) \end{align*}

Jezt lösen wir die Gleichungen:

\begin{align*} I. a \cdot 2 \cdot e^{-2k} &= 10 \\ II. e^{-2k} (a - 2ak) &= 0 \end{align*}

Aus der zweiten Gleichung folgt, dass $a - 2ak = 0$ , also $a(1 - 2k) = 0$ . Da $a$ nicht Null sein kann, folgt $1 - 2k = 0$ , also $k = \frac{1}{2}$ .

Somit können wir $k$ in die erste Gleichung einsetzen:

a = \frac{10}{2 \cdot e^{-1}} = 5e

Demnach ist die Funktion $f(t) = 5e \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{2}t}$ .