Formeln für Geraden im Raum

Die Parameterform einer Geraden im Raum lautet:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

mit:

• $\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden
• $\vec{a}$: Ortsvektor eines festen Punktes auf der Geraden (Stützvektor)
• $\vec{v}$: Richtungsvektor der Geraden
• $t \in \mathbb{R}$: Parameter

Eine Gerade durch die Punkte $A(x_1|y_1|z_1)$ und $B(x_2|y_2|z_2)$ hat die Gleichung:

$g: \vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB}$

mit dem Richtungsvektor: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\end{pmatrix}$

Gerade durch $A(1|2|3)$ und $B(4|1|5)$:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\1-2\\5-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$

Ein Punkt $P(x_P|y_P|z_P)$ liegt auf der Geraden $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$, wenn die Gleichung:

$\begin{pmatrix}x_P\\y_P\\z_P\end{pmatrix} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

eine Lösung für $t$ besitzt.

Liegt $P(7|0|7)$ auf $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$?

Ansatz: $\begin{pmatrix}7\\0\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$

Komponentenweise: \begin{align*} x: \quad 7 &= 1 + 3t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \ y: \quad 0 &= 2 - t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \ z: \quad 7 &= 3 + 2t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \end{align*}

Ja, P liegt auf der Geraden mit $t = 2$.

Zwei Geraden im Raum können folgende Lagebeziehungen haben:

1. Identisch: $g_1 = g_2$ (dieselbe Gerade)
2. Parallel: $g_1 \parallel g_2$ (gleiche Richtung, kein Schnittpunkt)
3. Schneidend: $g_1 \cap g_2 = \{S\}$ (genau ein Schnittpunkt)
4. Windschief: kein Schnittpunkt und nicht parallel

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind:

$\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ für ein $k \neq 0$

$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

$g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}$

$\vec{v_2} = \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{v_1}$

Die Geraden sind parallel.

Der Schnittpunkt zweier Geraden wird gefunden durch Gleichsetzen:

$\vec{a_1} + t \cdot \vec{v_1} = \vec{a_2} + s \cdot \vec{v_2}$

Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem für $t$ und $s$.

$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

$g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$

Gleichsetzen: $\begin{pmatrix}1+t\\2+t\\1+2t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+2s\\1+s\\3+s\end{pmatrix}$

System lösen: $t = 1, s = 0$

Schnittpunkt: $S = \begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}$

Der Abstand eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ wird berechnet durch:

$d(P,g) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

wobei $A$ ein beliebiger Punkt auf der Geraden ist und $\times$ das Kreuzprodukt bezeichnet.