Knobelecke

Darum geht's: Hier sind Aufgaben zum Tüfteln, Begründen und geschickt Rechnen. Sie sind freiwillig – such dir aus, was dich reizt!

🎲 Das Produktspiel

Wähle aus Feld 1 und aus Feld 2 jeweils eine Zahl und multipliziere sie.

Feld 1
$-7$	$+2$	$+11$	$0$
$-9$	$-23$	$+4$	$+51$
$+8$	$-15$	$+1$	$-10$

Feld 2
$+18$	$-99$	$+3$	$-2$
$-5$	$+10$	$0$	$-11$
$-37$	$-8$	$+9$	$-12$

Das größte Produkt ist {z{2277}}.
Das kleinste Produkt ist {z{-5049}}.
Das Produkt, das am nächsten an 100 liegt, ist {z{99}}.

{b{Das größte Produkt entsteht aus zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen und möglichst großem Betrag – auch zwei negative Zahlen kommen infrage!}}

⚡ Geschickt rechnen

Für rationale Zahlen gelten dieselben Rechengesetze wie für Brüche und natürliche Zahlen.

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): In einem Produkt darf man die Faktoren vertauschen.

$a \cdot b = b \cdot a \qquad \text{z. B. } (-1{,}4) \cdot 2{,}5 = 2{,}5 \cdot (-1{,}4)$

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): In einem Produkt darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen.

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$

\begin{aligned} 11 \cdot (-4) \cdot 25 &= 11 \cdot \big((-4) \cdot 25\big) &&\text{Klammer geschickt setzen} \\ &= 11 \cdot (-100) \\ &= -1100 \end{aligned}

\begin{aligned} (-125) \cdot (-7) \cdot (-8) &= (-125) \cdot (-8) \cdot (-7) &&\text{Faktoren vertauschen} \\ &= 1000 \cdot (-7) \\ &= -7000 \end{aligned}

Suche nach Partnern, die zusammen $10$ , $100$ oder $1000$ ergeben: $4 \cdot 25$ , $8 \cdot 125$ , $2 \cdot 5$ , $0{,}5 \cdot 2$ …

Berechne möglichst vorteilhaft.

$(-13) \cdot 25 \cdot (-4) =$ {z{1300}}
$2{,}5 \cdot (-1{,}5) \cdot 8 =$ {z{-30}}
$(-0{,}8) \cdot (-3{,}7) \cdot 1{,}25 =$ {z{3,7}}
$0{,}7 \cdot (-20) \cdot (-0{,}3) \cdot (-5) =$ {z{-21}}
$125 \cdot (-23) \cdot (-8) \cdot (-3) =$ {z{-69000}}
$(-0{,}1) \cdot (-0{,}02) \cdot (-0{,}05) =$ {z{-0,0001}}

{b{Tipp: Fasse zuerst die Faktoren zusammen, die eine »glatte« Zahl ergeben, z. B. 25 · 4 = 100 oder 1,25 · 0,8 = 1.}}

🔄 Mal und geteilt vertauschen

Aufeinanderfolgende Multiplikations- und Divisionsschritte darf man vertauschen. Jede Zahl nimmt dabei ihr Rechenzeichen mit.

$a \cdot b : c = a : c \cdot b \qquad a : b : c = a : c : b$

\begin{aligned} -80 \cdot 17 : (-40) &= -80 : (-40) \cdot 17 &&\text{vertauschen, damit es leichter wird} \\ &= 2 \cdot 17 \\ &= 34 \end{aligned}

$36 \cdot 7 : (-18) =$ {z{-14}}
$-54 \cdot (-39) : 27 =$ {z{78}}
$-2{,}5 : 0{,}8 \cdot (-4) =$ {z{12,5}}
$165 : (-0{,}3) : (-5) =$ {z{110}}
$-210 : 0{,}5 : (-70) =$ {z{6}}

🔍 Fehlersuche

Fehlersuche: Jonas hat beim Vertauschen nicht immer aufgepasst. Entscheide, ob die Rechnung richtig ist.

Rechnung
$(-18) \cdot (-2) : 6 = (-18) \cdot 6 \cdot (-2) = 216$	{A{richtig\|!falsch}}
$(-35) : 10 \cdot 4 = (-35) \cdot 4 : 10 = -140 : 10 = -14$	{A{!richtig\|falsch}}
$3{,}6 : (-0{,}5) \cdot (-10) = 3{,}6 \cdot (-10) : (-0{,}5) = -36 : (-0{,}5) = -18$	{A{richtig\|!falsch}}
$(-4) \cdot 2{,}5 + 3 = (-4) \cdot 3 + 2{,}5 = -9{,}5$	{A{richtig\|!falsch}}

{b{1. Zeile: Das »: 6« wurde zu »· 6«. Richtig ist (−18) : 6 · (−2) = 6. — 3. Zeile: −36 : (−0,5) = 72, nicht −18. — 4. Zeile: Ein Plus-Schritt darf nicht mit einem Mal-Schritt vertauscht werden. Richtig ist −10 + 3 = −7.}}

🤔 Stimmt das?

Suche zuerst ein Beispiel. Entscheide dann, ob die Aussage immer stimmt. Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um eine Aussage zu widerlegen.

Ist bei zwei Faktoren einer negativ, so ist das Produkt negativ. {A{immer richtig|!nicht immer richtig}}
Das Produkt zweier negativer Zahlen ist größer als jeder der beiden Faktoren. {A{!immer richtig|nicht immer richtig}}
Das Produkt dreier Zahlen ist nur dann positiv, wenn alle drei das gleiche Vorzeichen haben. {A{immer richtig|!nicht immer richtig}}
Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist nie null. {A{immer richtig|!nicht immer richtig}}

{b{Gegenbeispiele: (−3) · 0 = 0 ist nicht negativ. (−1) · (−1) · 5 = 5 ist positiv, obwohl die Vorzeichen verschieden sind. 0 · 4 = 0.}}

🧱 Deine eigene Zahlenmauer

Mauer 4 – Denke dir selbst eine Mal-Mauer mit vier Steinen unten aus. Der oberste Stein soll negativ sein. Wie viele negative Zahlen dürfen unten stehen? Tausche deine Mauer mit einem Partner.

✍️ Viele Wege zum Produkt

Schreibe die Zahl auf vier verschiedene Weisen als Produkt aus zwei Faktoren. Verwende auch negative Zahlen und Dezimalzahlen.

a) $36$ $\quad$ b) $-36$ $\quad$ c) $-2$ $\quad$ d) $-\frac{1}{8}$

Lösungsbeispiele

a) $4 \cdot 9$ , $(-4) \cdot (-9)$ , $(-6) \cdot (-6)$ , $0{,}5 \cdot 72$ b) $4 \cdot (-9)$ , $(-4) \cdot 9$ , $(-6) \cdot 6$ , $(-0{,}5) \cdot 72$ c) $1 \cdot (-2)$ , $(-1) \cdot 2$ , $(-4) \cdot 0{,}5$ , $0{,}2 \cdot (-10)$ d) $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$ , $(-1) \cdot \frac{1}{8}$ , $0{,}25 \cdot (-0{,}5)$

Es gibt viele weitere richtige Lösungen.

💡 Gut zu wissen: Das Minuszeichen hat drei Bedeutungen

Vorzeichen einer Zahl: $-3$ ist eine negative Zahl.
Rechenzeichen für die Subtraktion: $8 - 3$
Zeichen für die Gegenzahl: $-(-3)$ ist die Gegenzahl von $-3$ .