Quotientengleichheit

📓 Im Arbeitsheft (S. 19) steht, dass bei proportionalen Zuordnungen alle Quotienten gleich sind. Hier siehst du, warum das so ist, was der Quotient am Graphen bedeutet und wie du damit jede Tabelle sicher prüfst.

Warum sind die Quotienten gleich?

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt $y = k \cdot x$ . Teilst du beide Seiten durch $x$ , bleibt

$\frac{y}{x} = k.$

Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist also immer der Proportionalitätsfaktor – egal, welches Wertepaar du nimmst. Er sagt dir, wie viel zu einer Einheit gehört.

Quotientengleichheit: Eine Zuordnung ist genau dann proportional, wenn der Quotient

$\frac{\text{zugeordnete Größe}}{\text{Ausgangsgröße}} = \frac{y}{x}$

für alle Wertepaare gleich ist. Dieser Quotient ist der Proportionalitätsfaktor $k$ .

Der Quotient am Graphen

Ziehe den Punkt $P$ auf dem Graphen. Das Dreieck zeigt dir $x$ (waagerecht) und $y$ (senkrecht). Schalte dann auf „mit Grundgebühr“ um.

Ohne Grundgebühr ist der Quotient $\frac{y}{x}$ immer {z{1,5}}. Das ist der Preis für {z{1}} km.
Mit Grundgebühr {A{bleibt der Quotient gleich|!ändert sich der Quotient}}, wenn du $P$ verschiebst.
Mit Grundgebühr ist die Zuordnung {A{proportional|!nicht proportional}}, obwohl der Graph eine Gerade ist.

{h{Mit Grundgebühr: Rechne für 2 km und für 8 km jeweils Preis : Strecke.}}

So prüfst du eine Tabelle

Berechne für jede Spalte den Quotienten $\frac{y}{x}$ .
Sind alle gleich → proportional. Ist auch nur einer anders → nicht proportional.
Der gemeinsame Quotient ist $k$ . Damit kannst du jeden weiteren Wert berechnen: $y = k \cdot x$ .

a) Anzahl Kinokarten → Preis

$x$	2	3	5
$y$ in €	17	25,50	42,50
$\frac{y}{x}$	{z{8,5}}	{z{8,5}}	{z{8,5}}

Die Zuordnung ist {A{!proportional|nicht proportional}}. 9 Karten kosten {z{76,5}} €.

b) Alter eines Kindes in Jahren → Körpergröße

$x$	2	4	8
$y$ in cm	88	104	128
$\frac{y}{x}$	{z{44}}	{z{26}}	{z{16}}

Die Zuordnung ist {A{proportional|!nicht proportional}}.

c) Liter Benzin → Preis

$x$ in l	10	25	40
$y$ in €	17,90	44,75	71,60
$\frac{y}{x}$	{z{1,79}}	{z{1,79}}	{z{1,79}}

Die Zuordnung ist {A{!proportional|nicht proportional}}. Ein Liter kostet {z{1,79}} €.

d) Gewicht eines Pakets → Porto

$x$ in kg	1	2	5
$y$ in €	5,49	5,49	8,49
$\frac{y}{x}$	{z{5,49}}	{z{2,745}}	{z{1,698}}

Rechne genau, ohne zu runden. Die Zuordnung ist {A{proportional|!nicht proportional}}. Beim Porto zahlst du für eine ganze Gewichtsstufe, nicht für jedes Kilogramm.

Rechnen mit dem Faktor: Geld umtauschen

Beim Geldwechseln ist die Zuordnung Euro → Fremdwährung proportional. Der Wechselkurs ist der Proportionalitätsfaktor.

Für 1 € bekommst du 1,08 US-Dollar. Also ist $k =$ {z{1,08}}.

Euro	1	10	50	200
US-Dollar	1,08	{z{10,8}}	{z{54}}	{z{216}}

Für 27 US-Dollar musst du {z{25}} € umtauschen.

{h{Für die letzte Lücke rechnest du rückwärts: 27 : 1,08.}}

Typische Fehler

Nur zwei Spalten geprüft: Alle Quotienten müssen gleich sein. Beim Porto sind die ersten beiden nur zufällig ähnlich.
Quotient falsch herum gebildet: Rechne immer zugeordnete Größe : Ausgangsgröße, also $\frac{y}{x}$ .
Rundungsfehler: Kommen beim Messen leicht unterschiedliche Quotienten heraus (z. B. 1,99 und 2,01), kann die Zuordnung trotzdem proportional sein. Das liegt dann an Messungenauigkeiten.

Weiter üben: Elemente der Mathematik 7, S. 29, Aufg. 5–7 · S. 30, Aufg. 8 · zum Knobeln S. 30, Aufg. 9–12