📓 Im Arbeitsheft (S. 34) findest du Buchaufgaben zum Wählen des passenden Modells. Hier bekommst du eine Entscheidungshilfe, übst das Entscheiden an vielen Situationen und lernst, wann ein Modell nicht mehr zur Wirklichkeit passt.
Bevor du rechnest, entscheidest du: proportional, antiproportional oder keins von beidem? Folge den Fragen von oben nach unten.
flowchart TD
A["Was passiert, wenn sich die Ausgangsgröße verdoppelt?"] --> B["Die zugeordnete Größe verdoppelt sich."]
A --> C["Die zugeordnete Größe halbiert sich."]
A --> D["Etwas anderes passiert."]
B --> E["Prüfe: Sind alle Quotienten y : x gleich?"]
C --> F["Prüfe: Sind alle Produkte x · y gleich?"]
E -->|ja| G["proportional<br/>Dreisatz: beide Größen gleich behandeln"]
F -->|ja| H["antiproportional<br/>Dreisatz: umgekehrt rechnen"]
D --> I["keins von beidem<br/>kein Dreisatz!"]
E -->|nein| I
F -->|nein| I
In drei Schritten zum passenden Modell
- Prüfe den Sachverhalt: Was passiert beim Verdoppeln? „Je mehr – desto mehr“ oder „je mehr – desto weniger“ ist nur ein erster Hinweis.
- Prüfe die Zuordnung: Sind die Quotienten gleich (proportional) oder die Produkte (antiproportional)?
- Berechne die fehlenden Werte mit dem passenden Dreisatz oder mit dem Faktor.
| Situation |
Modell |
| Ein Heft kostet 1,70 €. Anzahl Hefte → Preis |
{R1{!proportional}} {R1{antiproportional}} {R1{keins von beidem}} |
| Gleich starke Pumpen leeren einen Pool. Anzahl Pumpen → Zeit |
{R2{proportional}} {R2{!antiproportional}} {R2{keins von beidem}} |
| Ein Kind wächst. Alter → Körpergröße |
{R3{proportional}} {R3{antiproportional}} {R3{!keins von beidem}} |
| Eine Kerze brennt ab. Brenndauer → Länge der Kerze |
{R4{proportional}} {R4{antiproportional}} {R4{!keins von beidem}} |
| Ein Feld wird gleichmäßig bepflanzt. Fläche → Anzahl Pflanzen |
{R5{!proportional}} {R5{antiproportional}} {R5{keins von beidem}} |
| Ein Vorrat wird gerecht verteilt. Anzahl Personen → Anteil pro Person |
{R6{proportional}} {R6{!antiproportional}} {R6{keins von beidem}} |
| Taxifahrt mit Grundgebühr. Strecke → Preis |
{R7{proportional}} {R7{antiproportional}} {R7{!keins von beidem}} |
| Ein Auto fährt eine feste Strecke. Geschwindigkeit → Fahrzeit |
{R8{proportional}} {R8{!antiproportional}} {R8{keins von beidem}} |
{h{Stell dir bei jeder Zeile vor, die Ausgangsgröße verdoppelt sich. Was passiert mit der zugeordneten Größe: verdoppelt, halbiert oder etwas anderes?}}
a) Für 3 Portionen Linsencurry braucht man 3,75 m² Ackerfläche. Wie viel Fläche brauchen 12 Portionen?
Die Zuordnung ist {A{!proportional|antiproportional}}. 12 Portionen brauchen {z{15}} m².
b) Ein Acker reicht bei 50 Portionen pro Tag 120 Tage. Wie lange reicht er bei 75 Portionen pro Tag?
Die Zuordnung ist {A{proportional|!antiproportional}}. Der Acker reicht {z{80}} Tage.
c) 5 Busfahrkarten kosten 14 €. Wie viel kosten 8 Karten?
Die Zuordnung ist {A{!proportional|antiproportional}}. 8 Karten kosten {z{22,4}} €.
d) Mit 4 Rasenmähern ist der Sportplatz in 3 Stunden gemäht. Wie lange dauert es mit 6 Rasenmähern?
Die Zuordnung ist {A{proportional|!antiproportional}}. Es dauert {z{2}} Stunden.
e) Mit 10 Jahren ist Ben 1,40 m groß. Wie groß ist er mit 20 Jahren?
Die Zuordnung ist {A{proportional|antiproportional|!keins von beidem}}. Man kann die Größe {A{mit dem Dreisatz berechnen|!nicht mit dem Dreisatz berechnen}}.
Ein Modell ist eine Vereinfachung der Wirklichkeit. Es stimmt oft nur in einem bestimmten Bereich. Prüfe deshalb dein Ergebnis immer: Ist es in der Wirklichkeit möglich?
Warum passt das Modell hier nicht mehr? Ordne zu.
- „2 Maler streichen ein Zimmer in 6 Stunden. Also schaffen 120 Maler es in 6 Minuten.“
{A{Zimmer sind verschieden groß.|!So viele Maler passen nicht ins Zimmer und stehen sich im Weg.|Maler arbeiten nicht gern zusammen.}}
- „Ein Becher Joghurt kostet 0,60 €. Also kosten 10 Becher 6 €.“ Im Supermarkt gibt es aber ein 10er-Pack für 4,99 €.
{A{!Großpackungen haben oft einen Mengenrabatt.|Der Joghurt ist abgelaufen.|Man hat sich verrechnet.}}
- „36 Bonbons für 5 Kinder: Jedes bekommt 7,2 Bonbons.“
{A{Das Ergebnis ist falsch gerundet.|!Bonbons kann man nicht in Teile brechen.|Die Zuordnung ist proportional.}}
Typische Fehler
- Nur nach „je mehr – desto …“ entscheiden: Das ist ein Hinweis, kein Beweis. Prüfe die Quotienten oder Produkte.
- Immer den Dreisatz benutzen: Bei „keins von beidem“ hilft er nicht. Dann brauchst du andere Informationen, zum Beispiel eine Tabelle oder eine Formel.
- Das Ergebnis nicht prüfen: 120 Maler in einem Zimmer oder 7,2 Bonbons pro Kind – frage dich immer, ob das Ergebnis in der Wirklichkeit Sinn ergibt.
Weiter üben: Elemente der Mathematik 7, S. 41, Aufg. 1–3 · S. 42, Aufg. 4–10 · zum Knobeln S. 44, Aufg. 12–16
