Proportionale Zuordnungen

📓 Im Arbeitsheft (S. 15–18) hast du ausgerechnet, wie viel Ackerfläche verschiedene Mahlzeiten brauchen, und das Merkblatt gelesen. Hier verstehst du, warum der Graph immer eine Halbgerade durch den Ursprung ist, was der Proportionalitätsfaktor bedeutet und wie du proportionale Zuordnungen von anderen unterscheidest.

Die Idee: Jede Einheit bringt gleich viel dazu

Stell dir vor, eine Portion braucht immer gleich viel Ackerfläche, zum Beispiel 2 m². Dann kommen für jede weitere Portion wieder genau 2 m² dazu:

Daraus folgen alle Eigenschaften auf einmal:

Doppelt so viele Portionen sind doppelt so viele Felder – also doppelt so viel Fläche.
0 Portionen brauchen 0 m². Der Graph beginnt im Ursprung $(0 \mid 0)$ .
Mit jeder Portion geht es um gleich viel nach oben. Deshalb liegen alle Punkte auf einer Geraden.

Eine Zuordnung heißt proportional, wenn zum Doppelten (Dreifachen, zur Hälfte, …) der Ausgangsgröße das Doppelte (Dreifache, die Hälfte, …) der zugeordneten Größe gehört.

Graph: eine Halbgerade, die im Ursprung beginnt.
Zuordnungsvorschrift: $y = k \cdot x$
Proportionalitätsfaktor $k$ : der Wert, der zu 1 gehört (hier: 2 m² für 1 Portion).

Ausprobieren: Was macht k?

Stelle mit dem Schieberegler ein, wie viel eine Portion braucht. Beobachte die Punkte, den Graphen und die rote Treppe: Mit jeder Portion geht es um $k$ nach oben.

Je größer $k$ ist, desto {A{flacher|!steiler}} ist der Graph.
Jede rote Stufe ist genau {A{1 hoch|!k hoch|x hoch}}.
Für $k = 0{,}5$ gehört zu 7 Portionen eine Fläche von {z{3,5}} m².
Bei welchem $k$ geht der Graph durch den Punkt $(4 \mid 6)$ ? $k =$ {z{1,5}}

{h{Für den letzten Punkt: Zu 4 Portionen gehören 6 m². Wie viel gehört dann zu 1 Portion?}}

Proportional oder nicht? Der Blick auf den Graphen

Beim Graphen musst du zwei Dinge prüfen: Ist er eine Gerade? Und beginnt er im Ursprung? Nur wenn beides stimmt, ist die Zuordnung proportional.

Graph	proportional?
A	{R1{!ja}} {R1{nein}}
B	{R2{ja}} {R2{!nein}}
C	{R3{ja}} {R3{!nein}}
D	{R4{!ja}} {R4{nein}}

{h{Graph B ist eine Gerade, beginnt aber nicht im Ursprung. Graph C beginnt im Ursprung, ist aber keine Gerade.}} {H{Richtig! Bei B gibt es einen „Grundbetrag“ wie die Grundgebühr beim Taxi. Bei C wächst der Wert immer schneller, wie die Fläche eines Quadrats auf dem Deckblatt deines Hefts.}}

Proportional oder nicht? Der Blick auf die Situation

Situation	proportional?
Anzahl Brötchen → Preis (ohne Rabatt)	{R5{!ja}} {R5{nein}}
Seitenlänge eines Quadrats → Flächeninhalt	{R6{ja}} {R6{!nein}}
Seitenlänge eines Quadrats → Umfang	{R7{!ja}} {R7{nein}}
Handyvertrag mit 5 € Grundgebühr: Minuten → Kosten	{R8{ja}} {R8{!nein}}
Liter Wasser → Gewicht in kg	{R9{!ja}} {R9{nein}}
Alter → Schuhgröße	{R10{ja}} {R10{!nein}}

{h{Verdopple jeweils die Ausgangsgröße. Verdoppelt sich die zugeordnete Größe auch? Bei einem Quadrat mit doppelter Seitenlänge passen viermal so viele Kästchen hinein.}}

Typische Fehler

„Je mehr – desto mehr“ heißt nicht automatisch proportional. Beim Handyvertrag zahlst du mehr, je länger du telefonierst. Doppelt so viele Minuten kosten aber nicht doppelt so viel, weil die Grundgebühr gleich bleibt.
Eine Gerade reicht nicht. Sie muss im Ursprung beginnen.
$k$ ist der Wert für 1, nicht für irgendeinen Wert aus der Tabelle.

🎲 Trainer: Tabellen ergänzen

Die Zuordnung ist proportional. Finde zuerst $k$ (den Wert für 1), dann den gesuchten Wert. Mit ↵ bekommst du eine neue Aufgabe.

{X{2 kg Äpfel kosten 5 €. Was kosten 7 kg?|4 Stunden Arbeit bringen 48 €. Wie viel bringen 10 Stunden?|3 Hefte wiegen 240 g. Wie viel wiegen 8 Hefte?|5 l Saft kosten 6 €. Was kosten 2 l?|Ein Drucker schafft 30 Seiten in 2 Minuten. Wie viele in 9 Minuten?|0,5 kg Käse kosten 7 €. Was kosten 1,5 kg?}}

Ergebnis: {Z{17,5|120|640|2,4|135|21}}

Weiter üben: Elemente der Mathematik 7, S. 19, Aufg. 1–4 · S. 20, Aufg. 7–9 · S. 21, Aufg. 11–12