Produktgleichheit und Dreisatz

📓 Im Arbeitsheft (S. 33) stehen Produktgleichheit und Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen. Hier erfährst du, was die Gesamtgröße in verschiedenen Situationen bedeutet, warum du beim Dreisatz „umgekehrt“ rechnen musst und wie du den häufigsten Fehler vermeidest.

Was bedeutet das Produkt?

Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt $x \cdot y$ immer gleich. Dieses Produkt heißt Gesamtgröße. Es ist das Ganze, das verteilt wird – und es hat immer eine Bedeutung:

Situation	Produkt	Bedeutung der Gesamtgröße
Pumpen → Stunden	$3 \cdot 8 = 24$	Eine Pumpe allein bräuchte 24 Stunden.
Kinder → Bonbons pro Kind	$6 \cdot 8 = 48$	Es gibt 48 Bonbons insgesamt.
Geschwindigkeit → Fahrzeit	$60 \tfrac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 2\,\text{h} = 120\,\text{km}$	Die Strecke ist 120 km lang.
Breite → Länge eines Rechtecks	$4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2$	Der Flächeninhalt ist 36 cm².

Produktgleichheit: Eine Zuordnung ist genau dann antiproportional, wenn das Produkt $x \cdot y$ für alle Wertepaare gleich ist. Dieses Produkt heißt Gesamtgröße $c$ . Es gilt $y = \frac{c}{x}$ .

Prüfe selbst

Berechne die Produkte $x \cdot y$ und entscheide.

a) Anzahl Helfer → Zeit zum Aufbau einer Bühne

$x$	2	3	6
$y$ in h	9	6	3
$x \cdot y$	{z{18}}	{z{18}}	{z{18}}

Die Zuordnung ist {A{!antiproportional|nicht antiproportional}}. Ein Helfer allein bräuchte {z{18}} Stunden.

b) Anzahl gelöster Aufgaben → Anzahl noch offener Aufgaben (von 20)

$x$	4	5	10
$y$	16	15	10
$x \cdot y$	{z{64}}	{z{75}}	{z{100}}

Die Zuordnung ist {A{antiproportional|!nicht antiproportional}}, obwohl gilt: je mehr, desto weniger. Hier bleibt die Summe gleich, nicht das Produkt.

c) Breite eines Rechtecks → Länge

$x$ in cm	2	3	9
$y$ in cm	18	12	4
$x \cdot y$	{z{36}}	{z{36}}	{z{36}}

Die Zuordnung ist {A{!antiproportional|nicht antiproportional}}. Alle Rechtecke haben den Flächeninhalt {z{36}} cm².

Warum rechnet man beim Dreisatz „umgekehrt“?

Beispiel: 3 gleich starke Pumpen leeren ein Becken in 8 Stunden. Wie lange brauchen 4 Pumpen?

Überlege erst mit dem gesunden Menschenverstand:

Eine Pumpe allein schafft nur ein Drittel so viel pro Stunde. Sie braucht also dreimal so lange: $8 \cdot 3 = 24$ Stunden.
Vier Pumpen schaffen viermal so viel wie eine. Sie brauchen nur ein Viertel der Zeit: $24 : 4 = 6$ Stunden.

Was du mit der einen Größe machst, machst du mit der anderen umgekehrt. Teilst du die Pumpen durch 3, multiplizierst du die Zeit mit 3. Denn das Produkt muss gleich bleiben: $3 \cdot 8 = 1 \cdot 24 = 4 \cdot 6 = 24$ .

Probe: Rechne zum Schluss das Produkt nach. Ist es dasselbe wie am Anfang?

Fehler finden

Lina hat gerechnet: „4 Maler brauchen 6 Tage. Wie lange brauchen 8 Maler?“

Maler	4	1	8
Tage	6	1,5	12

Was ist Linas Fehler? {A{Sie hat sich verrechnet.|!Sie hat wie bei einer proportionalen Zuordnung gerechnet.|Sie hat den falschen Hilfswert gewählt.}}

Richtig ist: 1 Maler braucht {z{24}} Tage, 8 Maler brauchen {z{3}} Tage.

{h{Mehr Maler sind schneller fertig. Kann es sein, dass 8 Maler doppelt so lange brauchen wie 4?}}

Jetzt du

a) Ein Futtervorrat reicht für 6 Kaninchen 10 Tage. Wie lange reicht er für 5 Kaninchen?

Kaninchen	6	1	5
Tage	10	{z{60}}	{z{12}}

{b{Tipp: Ein Kaninchen allein kommt sechsmal so lange aus.}}

b) Bei 80 Portionen pro Tag reicht ein Acker 200,2 Tage. Wie lange reicht er bei 40 und bei 160 Portionen pro Tag?

Portionen pro Tag	80	40	160
Tage	200,2	{z{400,4}}	{z{100,1}}

{b{Tipp: Hier brauchst du keinen Hilfswert 1. Die Hälfte der Portionen reicht doppelt so lange.}}

c) Für einen Ausflug zahlen 24 Kinder je 15 € für den Bus. Wie viel zahlt jedes Kind, wenn nur 20 Kinder mitfahren?

Kinder	24	1	20
Preis pro Kind in €	15	{z{360}}	{z{18}}

{b{Tipp: Fährt ein Kind allein, zahlt es den ganzen Bus.}}

🎲 Dreisatz-Trainer: antiproportional

Mit ↵ bekommst du eine neue Aufgabe.

{X{6 Maler brauchen 10 Tage. Wie lange brauchen 4 Maler?|Mit 5 Lkw muss jeder 12-mal fahren. Wie oft mit 6 Lkw?|Mit 90 km/h dauert eine Fahrt 2 h. Wie lange mit 60 km/h?|8 Gewinner bekommen je 45 €. Wie viel bekommt jeder bei 12 Gewinnern?|3 Bagger brauchen 14 Tage. Wie lange brauchen 7 Bagger?|Ein Vorrat reicht 15 Hühnern 20 Tage. Wie lange reicht er 25 Hühnern?}}

Ergebnis: {Z{15|10|3|30|6|12}}

Weiter üben: Elemente der Mathematik 7, S. 35, Aufg. 11–14 · S. 36, Aufg. 15–18 · S. 38, Aufg. 1–4 · S. 39, Aufg. 5–8