Die drei binomischen Formeln

Darum geht's: Du rechnest die drei binomischen Formeln durch Ausmultiplizieren nach, siehst sie als Bild und wendest sie auf Terme mit Variablen an.

Erinnerung: Jeder mit jedem

Zwei Klammern multiplizierst du aus, indem du jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer malnimmst. Dabei hilft ein Malkreuz.

$(x + 3)(x + 3)$ :

$\cdot$	$x$	$+3$
$x$	$x^2$	$3x$
$+3$	$3x$	$9$

Zusammen: $x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$

Die zweite Formel: mit Minus

1 Fülle das Malkreuz für $(x - 3)^2 = (x - 3)(x - 3)$ aus. Achte auf die Vorzeichen!

$\cdot$	$x$	$-3$
$x$	$x^2$	{z{-3}} $x$
$-3$	{z{-3}} $x$	{z{9}}

Zusammen: $(x - 3)^2 = x^2$ $+$ ( {z{-6}} ) $x$ $+$ {z{9}}

Das letzte Glied ist positiv, weil {A{!minus mal minus plus ergibt|man die Zahl nur abschreibt|3 positiv ist}}.

Genauso geht es allgemein: $(a - b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2$ .

Die dritte Formel: Plus mal Minus

2 Fülle das Malkreuz für $(x + 3)(x - 3)$ aus.

$\cdot$	$x$	$-3$
$x$	$x^2$	{z{-3}} $x$
$+3$	{z{3}} $x$	{z{-9}}

Die beiden gemischten Glieder ergeben zusammen {z{0}} $x$ . Sie heben sich auf.

Übrig bleibt: $(x + 3)(x - 3) = x^2$ $-$ {z{9}}

Das blaue Stück wird gedreht, das braune angelegt. Die Fläche bleibt gleich: a² − b² = (a + b)(a − b).

Alle drei Formeln

Die binomischen Formeln

\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 &&\text{1. binomische Formel} \\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 &&\text{2. binomische Formel} \\ (a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 &&\text{3. binomische Formel} \end{aligned}

Für $a$ und $b$ kannst du ganze Terme einsetzen. Denk dir dann eine Klammer darum.

\begin{aligned} (2x - 3)^2 &= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 \\ &= 4x^2 - 12x + 9 \end{aligned}

Achtung: $(2x)^2 = 2x \cdot 2x = 4x^2$ – und nicht $2x^2$ . Die Zahl vor dem $x$ wird mit quadriert.

Üben

3 Multipliziere aus. Fülle die Lücken.

Formel

Mit Faktoren


$(x + 2)^2 = x^2 +$ {z{4}} $x +$ {z{4}}	$(x + 8)^2 = x^2 +$ {z{16}} $x +$ {z{64}}
$(y + 1)^2 = y^2 +$ {z{2}} $y +$ {z{1}}	$(a + 0{,}5)^2 = a^2 +$ {z{1}} $a +$ {z{0,25}}


$(x - 4)^2 = x^2 -$ {z{8}} $x +$ {z{16}}	$(x - 9)^2 = x^2 -$ {z{18}} $x +$ {z{81}}
$(z - 1)^2 = z^2 -$ {z{2}} $z +$ {z{1}}	$(b - 1{,}5)^2 = b^2 -$ {z{3}} $b +$ {z{2,25}}


$(x + 4)(x - 4) = x^2 -$ {z{16}}	$(y + 11)(y - 11) = y^2 -$ {z{121}}
$(a - 0{,}3)(a + 0{,}3) = a^2 -$ {z{0,09}}	$(2x + 3)(2x - 3) =$ {z{4}} $x^2 -$ {z{9}}


$(3x + 2)^2 =$ {z{9}} $x^2 +$ {z{12}} $x +$ {z{4}}
$(5a - 1)^2 =$ {z{25}} $a^2 -$ {z{10}} $a +$ {z{1}}
$(x + 2y)^2 = x^2 +$ {z{4}} $xy +$ {z{4}} $y^2$

{b{Denk dir eine Klammer um 3x, 5a und 2y: (3x)² = 9x², 2 · 3x · 2 = 12x usw.}}

Teste dich

Acht Aufgaben mit Hinweisen. Bei einem Fehler bekommst du einen zweiten Versuch.

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