Das Quadrat-Puzzle: Was ist (a + b)^2?

Darum geht's: Du findest mit einem Quadrat aus vier Teilen heraus, was $(a + b)^2$ ergibt – und warum $a^2 + b^2$ nicht reicht.

Schritt 1: Das Beet wird größer

Ein quadratisches Beet hat eine Seitenlänge von $3$ m. Es wird an zwei Seiten um je $2$ m verlängert. Es bleibt also ein Quadrat.

Die neue Seitenlänge ist {z{5}} m. Die neue Fläche ist $(3 + 2)^2 =$ {z{25}} m².

Tim rechnet: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$ . Hat Tim recht? {A{ja|!nein}}

Tim fehlen {z{12}} m².

Tim hat nur die beiden Quadrate gezählt. Die zwei braunen Rechtecke hat er vergessen.

Schritt 2: Ausprobieren

Stelle die Längen $a$ und $b$ mit den Schiebereglern ein. Das große Quadrat hat die Seitenlänge $a + b$ . Es besteht immer aus vier Teilen.

Stelle $a = 4$ und $b = 1$ ein. Dann ist $a^2 =$ {z{16}}, $a \cdot b =$ {z{4}} und $b^2 =$ {z{1}}.

Zusammen: $(4 + 1)^2 =$ {z{25}}

Das Rechteck $a \cdot b$ kommt im Quadrat {z{2}}-mal vor.

Schritt 3: Die Formel

Die Fläche des großen Quadrats kannst du auf zwei Arten aufschreiben:

als ein Quadrat mit der Seite $a + b$ : $\quad (a + b)^2$
als Summe der vier Teile: $\quad a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Beides ist dieselbe Fläche. Also gilt:

Erste binomische Formel

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Das Glied $2ab$ in der Mitte heißt Mittelglied. Es steht für die zwei Rechtecke.

Achtung, häufiger Fehler!

$(a + b)^2$ ist nicht $a^2 + b^2$ . Das Mittelglied $2ab$ darf nie fehlen.

Stimmt das?

$(x + 5)^2 = x^2 + 25$ $\quad$ {A{stimmt|!stimmt nicht}}
$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ $\quad$ {A{!stimmt|stimmt nicht}}
$(x + 1)^2 = x^2 + x + 1$ $\quad$ {A{stimmt|!stimmt nicht}}

{b{Das Mittelglied ist 2 · x · 1 = 2x. Richtig ist (x + 1)² = x² + 2x + 1.}}

Woher kommt der Name?

Ein Binom ist eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, zum Beispiel $a + b$ oder $x - 3$ . „Bi" heißt „zwei" – wie beim Bizeps (zwei Köpfe) oder beim Bike (zwei Räder).

Die binomischen Formeln sagen dir, was herauskommt, wenn man solche Binome miteinander malnimmt.

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