Extremwertprobleme sind ein zentrales Thema in der Analysis und spielen eine wichtige Rolle in vielen praktischen Anwendungen. Sie befassen sich mit der Frage, unter welchen Bedingungen eine Funktion ihren höchsten (Maximum) oder niedrigsten Wert (Minimum) annimmt. Solche Probleme treten häufig in der Natur, Wirtschaft und Technik auf. Beispiele sind das Minimieren von Kosten oder das Maximieren von Gewinnen, das Bestimmen der optimalen Größe eines Behälters bei minimalem Materialverbrauch oder das Finden der besten Route bei einer Reise.

Um Extremwerte zu berechnen, verwendet man in der Mathematik Differentialrechnung. Der erste Schritt ist, die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, da diese die Steigung der Funktion beschreibt. An den Stellen, an denen die Ableitung null ist, spricht man von sogenannten kritischen Punkten. Diese Punkte sind potenzielle Kandidaten für lokale Maxima oder Minima. Durch weitere Tests, wie die Verwendung der zweiten Ableitung, kann entschieden werden, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt.

In diesem Kapitel werdet ihr lernen, wie man solche Extremwertprobleme mathematisch formuliert, ableitet und löst. Wir werden dabei verschiedene Anwendungsbeispiele betrachten und uns damit beschäftigen, wie diese Methoden in der Praxis eingesetzt werden können. So werdet ihr ein tieferes Verständnis dafür gewinnen, wie Mathematik hilft, reale Probleme zu lösen, und wie Optimierungen unser tägliches Leben beeinflussen.