Mündliche Prüfung 01

Gegeben ist die Funktion

f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1

Sie beschreibt den Verlauf eines Höhenprofils eines Radwegs zwischen zwei Orten.
$x$ ist die Strecke in km, $f(x)$ die Höhe über dem Meeresspiegel in 100 m.

Berechnen Sie $f'(x)$ und interpretieren Sie deren Bedeutung im Sachkontext.
Bestimmen Sie die Extremstellen von $f$ im Intervall $[0,6]$ .
Klassifizieren Sie diese als Hoch- oder Tiefpunkte und interpretieren Sie diese im Sachkontext.
An welcher Stelle ist die Steigung des Radwegs am steilsten? Berechnen Sie diese maximale Steigung.
Berechnen Sie die durchschnittliche Höhe des Radwegs im Intervall $[0,6]$ .

Die Müsterlösung hilft dir deine Ergebnisse zu überprüfen, aber ein wichtiger Bestandteil der mündlichen Prüfung ist es, deine Lösungswege und Ergebnisse verständlich zu erklären. Versuche daher, die Aufgaben zunächst selbstständig zu lösen, bevor du die Musterlösung ansiehst.

Musterlösung

Die Ableitung lautet:
$f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3x$
Die Ableitung gibt die Steigung des Radwegs an jedem Punkt an. Ein positiver Wert bedeutet, dass der Weg ansteigt, ein negativer Wert bedeutet, dass der Weg abfällt. Die Einheit ist 100 m pro km, also 10% Steigung entspricht $f'(x) = 0,1$ .
Extremstellen bestimmen durch $f'(x) = 0$ :
$-\frac{3}{4}x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x \left(-\frac{3}{4}x + 3\right) = 0$ $x_1 = 0 \text{ oder } x_2 = 4$
Im Intervall $[0,6]$ liegen beide Extremstellen bei $x = 0$ km und $x = 4$ km.
Klassifizierung mit der zweiten Ableitung:
$f''(x) = -\frac{3}{2}x + 3$
- Für $x_1 = 0$ : $f''(0) = 3 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt bei $(0|1)$ .
  Interpretation: Am Startpunkt befindet sich eine Senke (lokales Minimum).
- Für $x_2 = 4$ : $f''(4) = -6 + 3 = -3 < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt bei $(4|9)$ .
  Berechnung: $f(4) = -\frac{1}{4} \cdot 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 1 = -16 + 24 + 1 = 9$
  Interpretation: Nach 4 km erreicht der Radweg seinen höchsten Punkt bei 900 m über dem Meeresspiegel.
Die steilste Stelle findet man durch Extrema von $|f'(x)|$ . Da $f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3x$ eine nach unten geöffnete Parabel ist, hat sie ihr Maximum bei:
$f''(x) = 0 \Rightarrow -\frac{3}{2}x + 3 = 0 \Rightarrow x = 2$
Bei $x = 2$ km ist die Steigung am größten:
$f'(2) = -\frac{3}{4} \cdot 4 + 3 \cdot 2 = -3 + 6 = 3$
Die maximale Steigung beträgt 3 (also 100 m auf 1 km = 10% Steigung).
Die durchschnittliche Höhe berechnet sich durch:
$\bar{f} = \frac{1}{6-0} \int_0^6 f(x) \, dx = \frac{1}{6} \int_0^6 \left(-\frac{1}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1\right) dx$ $= \frac{1}{6} \left[ -\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3 + x \right]_0^6$ $= \frac{1}{6} \left( -\frac{1296}{16} + \frac{216}{2} + 6 \right) = \frac{1}{6} \left( -81 + 108 + 6 \right) = \frac{33}{6} = 5{,}5$
Die durchschnittliche Höhe des Radwegs beträgt 5,5 (also 550 m über dem Meeresspiegel).