Mengen

Was ist eine Menge?

In der Mathematik ist eine Menge eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte nennen wir Elemente der Menge. Eine Menge kann alles enthalten: Zahlen, Buchstaben, Personen oder sogar andere Mengen.

Schreibweise:

Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet: $A$ , $B$ , $C$ , ...
Die Elemente werden in geschweiften Klammern aufgelistet: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
Das Symbol $\in$ bedeutet "ist Element von": $3 \in A$ (3 ist Element von A)
Das Symbol $\notin$ bedeutet "ist nicht Element von": $7 \notin A$ (7 ist nicht Element von A)

Beispiele:

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ - Die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 5
$B = \{a, e, i, o, u\}$ - Die Menge der Vokale
$C = \{\text{rot}, \text{gelb}, \text{grün}\}$ - Die Menge der Ampelfarben

Visualisierung mit Venn-Diagrammen

Mengenoperationen lassen sich gut mit Venn-Diagrammen darstellen. Dabei werden Mengen als Kreise oder Ovale dargestellt, und die verschiedenen Bereiche zeigen die Ergebnisse der Operationen.

Schnittmenge: Der überlappende Bereich beider Kreise
Vereinigung: Beide Kreise zusammen
Komplement: Alles außerhalb des Kreises (aber innerhalb der Grundmenge)
Differenz: Der Teil von $A$ , der nicht mit $B$ überlappt

Schnittmenge

Die Schnittmenge zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen.

Schreibweise: $A \cap B$ (gesprochen: "A geschnitten B")

Beispiel:

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$
$A \cap B = \{3, 4, 5\}$

Die Schnittmenge enthält nur die Zahlen 3, 4 und 5, weil diese in beiden Mengen vorkommen.

Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen vorkommen.

Schreibweise: $A \cup B$ (gesprochen: "A vereinigt mit B")

Beispiel:

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

Die Vereinigung enthält alle Zahlen, die in $A$ oder $B$ (oder in beiden) vorkommen. Jedes Element wird nur einmal aufgeführt, auch wenn es in beiden Mengen vorkommt.

Komplement

Das Komplement einer Menge $A$ enthält alle Elemente, die nicht in $A$ enthalten sind. Dafür muss eine Grundmenge $G$ (auch Universalmenge genannt) festgelegt sein.

Schreibweise: $\overline{A}$ oder $A^C$ (gesprochen: "A Komplement")

Beispiel:

Grundmenge: $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ (gerade Zahlen)
$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ (ungerade Zahlen)

Das Komplement von $A$ enthält alle Elemente aus der Grundmenge $G$ , die nicht in $A$ sind.

Differenz

Die Differenz zweier Mengen $A$ und $B$ enthält alle Elemente, die in $A$ , aber nicht in $B$ enthalten sind.

Schreibweise: $A \setminus B$ oder $A - B$ (gesprochen: "A ohne B")

Beispiel:

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$
$A \setminus B = \{1, 2\}$

Die Differenz $A \setminus B$ enthält nur die Elemente 1 und 2, weil diese in $A$ vorkommen, aber nicht in $B$ .

Wichtig: $A \setminus B \neq B \setminus A$

Im Beispiel wäre: $B \setminus A = \{6, 7\}$