Pinball 3D: Tischebene

Für das Spiel Pinball 3D soll die Tischebene modelliert werden. Der Tisch hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$ , $B(0|56|0)$ , $C(80|56|10)$ und $D(80|0|10)$ .

Gib eine Parameterform der Ebene an.
Zeige rechnerisch, dass der vierte Punkt in der Ebene liegt.

Je nachdem welche Punkte du zum Aufstellen der Ebene benutzt hast, sind verschiedene Parameterformen richtig. Hier sind ein paar Lösungen aufgelistet:

$\vec{OA}$ Stützvektor; $\vec{AB}$ und $\vec{AD}$ Spannvektoren:

E_{Tisch}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\0\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

$\vec{OA}$ Stützvektor; $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ Spannvektoren:

E_{Tisch}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\56\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

$\vec{OB}$ Stützvektor; $\vec{BA}$ und $\vec{BC}$ Spannvektoren:

E_{Tisch}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\-56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\0\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Wir überprüfen, ob $D(80|0|10)$ in der Ebene $E_{Tisch}$ liegt.

\begin{pmatrix}80\\0\\10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\56\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Für $r=-1$ und $s=1$ ist die Gleichung erfüllt. Somit liegt der Punkt D in der Ebene.