Flächeninhaltsfunktion

Die Berechnung des bestimmten Integrals als Grenzwert von Unter- und Obersumme ist aufwändig und langwierig. Wir wollen daher nach einer Möglichkeit suchen, wie man das bestimmte Integral einer Funktion einfacher berechnen kann.

Im unteren Fenster ist das bestimmte Integral von $f(x) = x^2$ in einem Intervall $[a, b]$ zu sehen. Bei der Intervallgrenze b ist zusätzlich der Wert des bestimmten Integrals F von der x-Achse aus abgetragen.

Ziehe die rechte Intervallgrenze b entlang der x-Achse. Dabei wird für jeden Wert von b der Wert des bestimmten Integrals eingezeichnet. Es entsteht der Graph der sogenannten Flächeninhaltsfunktion $F(x)$ bezüglich der unteren Grenze a.
Versuche die Gleichung dieser Flächeninhaltsfunktion $F(x)$ zu finden. Gib dazu links im Algebra-Fenster deine vermutete Funktionsgleichung ein und drücke die Eingabetaste. Stimmt sie mit der Spur überein?

$F(x)=\frac{x^3}{3} + 9$

Flächeninhaltsfuntion und bestimmtes Integral

Mithilfe einer Flächeninhaltsfunktion F(x) zur gegebenen Funktion f können wir den Wert des bestimmten Integrals im Intervall [a, b] sehr einfach berechnen:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Im unteren Fenster siehst du diese Situation dargestellt, wobei du a und b verschieben kannst. Versuche in eigenen Worten die obige Formel zu erklären. Mache auch eine Skizze in deinem Heft.
Berechne mithilfe der Flächeninhaltsfunktion, nämlich $F(x) = \frac{x^3}{3}+ 9$ , die Fläche unter dem Funktionsgraph von $f(x) = x^2$ im Intervall [-2, 1] in deinem Heft! Vergleiche dein Ergebnis mit der Konstruktion im unteren Fenster!

Ergebnis

Wir wissen jetzt, dass wir mit einer Flächeninhaltsfunktion ganz einfach das bestimmte Integral berechnen können. Die Frage ist nun: Wie bekommt man so eine Flächeninhaltsfunktion?